Matière : Mathématiques

Niveau : 1BACSEF

Devoir surveillé 2

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(8 points)
Barycentre dans le plan
Soit ABCABC un triangle non aplati du plan. On considère les points II, milieu de [AC][AC], et GG, le barycentre du système pondéré {(A,1),(B,2),(C,1)}\{(A, 1), (B, 2), (C, 1)\}.
1.a)Montrer que BG→=12BI→\overrightarrow{BG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BI}, puis en déduire que GG est le milieu du segment [BI][BI].
1.5 pts
1.b)Construire soigneusement le point GG sur votre copie.
1 pt
2.a)Soit KK le barycentre du système {(B,2),(C,1)}\{(B, 2), (C, 1)\}. Exprimer AK→\overrightarrow{AK} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
1.5 pts
2.b)En utilisant la propriété d'associativité du barycentre, montrer que le point GG appartient à la droite (AK)(AK) et en déduire que les points AA, GG et KK sont alignés.
1.5 pts
3)Déterminer et construire l'ensemble (E)(\mathcal{E}) des points MM du plan tels que : ∥MA→+2MB→+MC→∥=2∥MA→+MC→∥ \|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = 2 \|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}\|
2.5 pts
Exercice 2(5 points)
Étude analytique du produit scalaire et la droite dans le plan
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), on considère les points A(1,3)A(1, 3), B(−2,1)B(-2, 1) et C(4,−1)C(4, -1).
1)Calculer le produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, puis déterminer la valeur exacte de cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}).
1.5 pts
2)Déterminer une équation cartésienne de la droite (D)(\mathcal{D}) passant par AA et orthogonale à la droite (BC)(BC).
1.5 pts
3)Calculer la distance d(A,(BC))d(A, (BC)), puis en déduire l'aire du triangle ABCABC.
2 pts
Exercice 3(7 points)
Étude analytique du cercle dans le plan
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), on considère l'ensemble (C)(\mathcal{C}) des points M(x,y)M(x, y) définis par : x2+y2−4x+2y−15=0 x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0
1.a)Montrer que (C)(\mathcal{C}) est un cercle dont on déterminera les coordonnées du centre Ω\Omega et le rayon RR.
2 pts
1.b)Déterminer une représentation paramétrique du cercle (C)(\mathcal{C}).
1.5 pts
2.a)Vérifier que le point E(5,2)E(5, 2) appartient au cercle (C)(\mathcal{C}).
1 pt
2.b)Déterminer une équation cartésienne de la droite (T)(\mathcal{T}) tangente au cercle (C)(\mathcal{C}) au point EE.
1.5 pts
3)Déterminer une équation cartésienne de l'ensemble (C′)(\mathcal{C}') des points M(x,y)M(x, y) du plan vérifiant la relation : MA→⋅MB→=0 \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 où A(1,2)A(1, 2) et B(5,−2)B(5, -2).
1 pt
Fin du sujet