Matière : Mathématiques

Niveau : 1BACSEF

Devoir surveillé 1

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(7 points)
Notions de logique
Cet exercice évalue la maîtrise des différents modes de raisonnement mathématique et le maniement des assertions logiques.
1)Donner la négation de la proposition suivante : P:(∀x∈R) (x2≥1  ⟹  x+1>0) P : (\forall x \in \mathbb{R})\ (x^2 \ge 1 \implies x + 1 > 0)
1.5 pts
2)Soient x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Démontrer par contraposition l'assertion suivante : (x≠y et x+y≠2)  ⟹  x2−2x≠y2−2y (x \neq y \text{ et } x + y \neq 2) \implies x^2 - 2x \neq y^2 - 2y
2 pts
3)Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Démontrer par disjonction des cas que le nombre n2+3n+2n^2 + 3n + 2 est un entier pair.
1.5 pts
4)Démontrer par récurrence que pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^* : ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6 \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
2 pts
Exercice 2(6 points)
Généralités sur les fonctions numériques
Soit ff la fonction numérique définie par : f(x)=2xx2+1 f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}
1)Déterminer DfD_f l'ensemble de définition de la fonction ff, puis étudier la parité de ff.
1.5 pts
2)Montrer que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, −1≤f(x)≤1-1 \le f(x) \le 1. Que peut-on en déduire pour la fonction ff ?
2.5 pts
3)Déterminer les valeurs extrêmes (maximum et minimum) de ff sur R\mathbb{R} en précisant les points où elles sont atteintes.
2 pts
Exercice 3(7 points)
Généralités sur les fonctions numériques
On considère les deux fonctions numériques gg et hh définies par : g(x)=x+2eth(x)=x2−2x g(x) = \sqrt{x + 2} \quad \text{et} \quad h(x) = x^2 - 2x
1)Déterminer DgD_g l'ensemble de définition de la fonction gg, puis étudier sa monotonie sur DgD_g en utilisant le taux de variation.
2 pts
2)Dresser le tableau de variations de la fonction hh sur l'intervalle I=[1,+∞[I = [1, +\infty[.
2 pts
3)a) Vérifier que pour tout x∈[1,+∞[x \in [1, +\infty[, h(x)∈[−1,+∞[h(x) \in [-1, +\infty[.\nb) Déterminer la formule de la fonction composée k=g∘hk = g \circ h pour x∈[1,+∞[x \in [1, +\infty[.\nc) En utilisant la monotonie des fonctions composées, déterminer le sens de variation de kk sur [1,+∞[[1, +\infty[.
3 pts
Fin du sujet