Matière : Mathématiques

Niveau : 1BACSEF

Devoir à la maison 3

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(2 points)
Analytique du produit scalaire dans le plan
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}). On considère l'ensemble (C)(C) des points M(x;y)M(x ; y) vérifiant l'équation cartésienne : x2+y2−4x+2y−4=0 x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0
1)Montrer que l'ensemble (C)(C) est un cercle dont on déterminera le centre Ω\Omega et le rayon RR.
1 pt
2)Vérifier que le point A(1,1)A(1, 1) appartient au cercle (C)(C), puis déterminer une équation cartésienne de la droite (T)(T) tangente au cercle (C)(C) au point AA.
1 pt
Exercice 2(10 points)
Suites numériques
On considère la suite numérique (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par : u0=2etun+1=13un+2pour tout n∈N u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}
1)Calculer les termes u1u_1 et u2u_2.
1.5 pts
2)Démontrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un<3u_n < 3.
2 pts
3)Étudier la monotonie de la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}.
1.5 pts
4.a)Soit la suite (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par vn=un−3v_n = u_n - 3 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=13q = \frac{1}{3} et préciser son premier terme v0v_0.
2 pts
4.b)Exprimer vnv_n en fonction de nn, puis en déduire l'expression de unu_n en fonction de nn.
1.5 pts
4.c)Calculer la somme Sn=v0+v1+⋯+vnS_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n en fonction de nn.
1.5 pts
Exercice 3(8 points)
Calcul trigonométrique
Soit xx un nombre réel. On considère l'expression trigonométrique : A(x)=3cos⁡(2x)+sin⁡(2x) A(x) = \sqrt{3}\cos(2x) + \sin(2x)
1)Montrer que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, A(x)=2cos⁡(2x−π6) A(x) = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)
2 pts
2)Résoudre dans l'intervalle [0,π][0, \pi] l'équation A(x)=2 A(x) = \sqrt{2}
3 pts
3)Résoudre dans l'intervalle [0,π][0, \pi] l'inéquation A(x)≥2 A(x) \ge \sqrt{2} et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
3 pts
Fin du sujet