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* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(7 points)

Notions de logique

Cet exercice évalue la maîtrise des règles logiques fondamentales et des différents modes de raisonnement mathématique.

1.a)Donner la négation de l'assertion suivante :

P : (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) : x^2 + y = 1

1 pt

1.b)Déterminer la valeur de vérité de l'assertion

P

en justifiant la réponse.

1 pt

2)En utilisant le raisonnement par contraposition, montrer que pour tous

x, y \in [1, +\infty[

x \neq y \implies x^2 - 2x \neq y^2 - 2y

2 pts

3)Montrer par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}^*

\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}

2 pts

4)En utilisant le raisonnement par disjonction des cas, montrer que pour tout

x \in \mathbb{R}

|x - 1| + |x + 3| \ge 4

1 pt

Exercice 2(6 points)

Généralités sur les fonctions numériques

Soit

f

la fonction numérique d'une variable réelle définie par :

f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}

1)Déterminer

D_f

, l'ensemble de définition de la fonction

f

, puis montrer que

f

est une fonction impaire.

1.5 pts

2)Montrer que pour tout

x \in \mathbb{R}

-1 \le f(x) \le 1

. Que peut-on en déduire pour la fonction

f

2 pts

3)Montrer que

1

est le maximum absolu de

f

sur

\mathbb{R}

et que

-1

est son minimum absolu sur

\mathbb{R}

1.5 pts

4)Comparer

f(x)

g(x) = x

sur l'intervalle

[0, 1]

1 pt

Exercice 3(7 points)

Généralités sur les fonctions numériques

On considère les deux fonctions numériques

u

v

définies par :

u(x) = x^2 - 4x + 3 \quad \text{et} \quad v(x) = \sqrt{x}

1)Dresser le tableau de variations complet de la fonction

u

sur

\mathbb{R}

1.5 pts

2)Déterminer l'ensemble de définition

D_h

de la fonction composée

h = v \circ u

1.5 pts

3)Étudier les variations de la fonction

h = v \circ u

sur l'intervalle

[3, +\infty[

en utilisant la monotonie de

u

v

2 pts

4)Déterminer l'image de l'intervalle

I = [3, 5]

par la fonction

h

2 pts